Що таке основа натурального логарифму. Натуральний логарифм, функція ln x. Натуральний логарифм означає час

На підставі числа е : ln x = log e x.

Натуральний логарифм широко використовується в математиці, оскільки його похідна має найпростіший вид: (ln x)′ = 1/ x.

Виходячи з визначення, основою натурального логарифму є число е:
е ≅ 2,718281828459045...;
.

Графік функції y = ln x.

Графік натурального логарифму (функції y = ln x) Виходить з графіка експоненти дзеркальним відображенням щодо прямої y = x .

Натуральний логарифм визначено за позитивних значень змінної x .

Він монотонно зростає у своїй області визначення. 0 При x →

межею натурального логарифму є мінус нескінченність (-∞).

При x → + ∞ межею натурального логарифму є плюс нескінченність ( + ∞ ). При великих логарифм зростає досить повільно. Будь-яка статечна функція x a з позитивним показником ступеня a зростає швидше за логарифму.

Властивості натурального логарифму

Область визначення, безліч значень, екстремуми, зростання, спадання

Натуральний логарифм є монотонно зростаючою функцією, тому екстремумів немає. Основні властивості натурального логарифму представлені у таблиці.

Значення ln x

ln 1 = 0

Основні формули натуральних логарифмів

Формули, що випливають із визначення зворотної функції:

Основна властивість логарифмів та його наслідки

Формула заміни основи

Будь-який логарифм можна виразити через натуральні логарифми за допомогою формули заміни основи:

Докази цих формул представлені у розділі "Логарифм".

Зворотня функція

Зворотною для натурального логарифму є експонента.

Якщо то

Якщо то .

Похідна ln x
.
Похідна натурального логарифму:
.
Похідна натурального логарифму від модуля x:
.
Похідна n-го порядку:

Висновок формул > > >

Інтеграл
.
Інтеграл обчислюється інтегруванням частинами:

Отже,

Вирази через комплексні числа
.
Розглянемо функцію комплексної змінної z: Виразимо комплексну змінну z через модуль r φ :
.
та аргумент
.
Використовуючи властивості логарифму, маємо:
.
Або
Аргумент φ визначено неоднозначно. Якщо покласти
де n - ціле,

то буде тим самим числом при різних n .

Тому натуральний логарифм як функція від комплексного змінного є неоднозначною функцією.

Розкладання в статечний ряд

При має місце розкладання:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.

Отже, маємо ступеня двійки. Якщо взяти число з нижнього рядка, можна легко знайти ступінь, у якому доведеться звести двійку, щоб вийшло це число. Наприклад, щоб отримати 16, треба два звести до четвертого ступеня. А щоб отримати 64, треба два звести на шостий ступінь. Це видно з таблиці.

А тепер — власне визначення логарифму:

Логарифм з підстави a від аргументу x — це ступінь, у якому треба звести число a щоб отримати число x .

Позначення: log a x = b , де a - основа, x - аргумент, b - власне, чому дорівнює логарифм.

Наприклад, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (логарифм на підставі 2 від числа 8 дорівнює трьом, оскільки 2 3 = 8). З тим самим успіхом log 2 64 = 6, оскільки 2 6 = 64.

Операцію знаходження логарифму числа за заданою основою називають логарифмуванням. Отже, доповнимо нашу таблицю новим рядком:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

На жаль, не всі логарифми вважаються так легко. Наприклад, спробуйте знайти log 2 5. Числа 5 немає в таблиці, але логіка підказує, що логарифм лежатиме десь на відрізку . Тому що 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Такі числа називаються ірраціональними: цифри після коми можна писати нескінченно, і вони ніколи не повторюються. Якщо логарифм виходить ірраціональним, його краще і залишити: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Важливо розуміти, що логарифм — це вираз із двома змінними (підстава та аргумент). Багато хто спочатку плутає, де знаходиться підстава, а де — аргумент. Щоб уникнути прикрих непорозумінь, просто погляньте на картинку:

[Підпис до малюнка]

Перед нами не що інше як визначення логарифму. Згадайте: логарифм - це ступінь, В яку треба звести підставу, щоб отримати аргумент. Саме основа зводиться у ступінь — на зображенні воно виділено червоним. Виходить, що основа завжди знаходиться внизу! Це чудове правило я розповідаю своїм учням на першому занятті — і ніякої плутанини не виникає.

З визначенням розібралися – залишилося навчитися рахувати логарифми, тобто. позбавлятися знаку «log». Для початку зазначимо, що з визначення випливає два важливі факти:

1. Аргумент і основа завжди повинні бути більшими за нуль. Це випливає з визначення рівня раціональним показником, до якого зводиться визначення логарифму.
2. Підстава повинна бути відмінною від одиниці, оскільки одиниця в будь-якій мірі все одно залишається одиницею. Через це питання «у яку міру треба звести одиницю, щоб отримати двійку» позбавлене сенсу. Немає такої міри!

Такі обмеження називаються областю допустимих значень(ОДЗ). Виходить, що ОДЗ логарифму має такий вигляд: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Зауважте, що жодних обмежень на число b (значення логарифму) не накладається. Наприклад, логарифм може бути негативним: log 2 0,5 = −1, т.к. 0,5 = 2 −1.

Втім, зараз ми розглядаємо лише числові вислови, де знати ОДЗ логарифму не потрібно. Усі обмеження вже враховані упорядниками завдань. Але коли підуть логарифмічні рівняння та нерівності, вимоги ОДЗ стануть обов'язковими. Адже в основі та аргументі можуть стояти вельми неслабкі конструкції, які зовсім необов'язково відповідають наведеним вище обмеженням.

Тепер розглянемо загальну схему обчислення логарифмів. Вона складається із трьох кроків:

1. Уявити основу a і аргумент x у вигляді ступеня з мінімально можливою основою, більшою за одиницю. Принагідно краще позбутися десяткових дробів;
2. Вирішити щодо змінної рівняння: x = a b ;
3. Отримане число b буде відповіддю.

От і все! Якщо логарифм виявиться ірраціональним, це буде видно вже на першому етапі. Вимога, щоб основа була більше одиниці, дуже актуальна: це знижує ймовірність помилки та значно спрощує викладки. Аналогічно з десятковими дробами: якщо одразу перевести їх у звичайні, помилок буде в рази менше.

Подивимося, як працює ця схема на конкретних прикладах:

Завдання. Обчисліть логарифм: log 5 25

1. Представимо основу та аргумент як ступінь п'ятірки: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2;
2. Складемо і розв'яжемо рівняння:
   log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
3. Отримали відповідь: 2.

Завдання. Обчисліть логарифм:

[Підпис до малюнка]

Завдання. Обчисліть логарифм: log 4 64

1. Представимо основу та аргумент як ступінь двійки: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
2. Складемо і розв'яжемо рівняння:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Отримали відповідь: 3.

Завдання. Обчисліть логарифм: log 16 1

1. Представимо основу та аргумент як ступінь двійки: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0;
2. Складемо і розв'яжемо рівняння:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Отримали відповідь: 0.

Завдання. Обчисліть логарифм: log 7 14

1. Представимо основу та аргумент як ступінь сімки: 7 = 7 1 ; 14 у вигляді ступеня сімки не представляється, оскільки 7 1< 14 < 7 2 ;
2. З попереднього пункту випливає, що логарифм не рахується;
3. Відповідь без змін: log 7 14.

Невелике зауваження до останнього прикладу. Як переконатися, що число не є точним ступенем іншого числа? Дуже просто – достатньо розкласти його на прості множники. І якщо такі множники не можна зібрати у ступеня з однаковими показниками, то й вихідне число не є точним ступенем.

Завдання. З'ясуйте, чи є точними ступенями числа: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - Точний ступінь, т.к. множник лише один;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - не є точним ступенем, оскільки є два множники: 3 і 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - точний ступінь;
35 = 7 · 5 - знову не є точним ступенем;
14 = 7 · 2 - знову не точний ступінь;

Зауважимо також, що найпростіші числа завжди є точними ступенями самих себе.

Десятковий логарифм

Деякі логарифми зустрічаються настільки часто, що мають спеціальну назву та позначення.

Десятковий логарифм від аргументу x - це логарифм на підставі 10, тобто. ступінь, у яку треба звести число 10, щоб одержати число x . Позначення: lg x.

Наприклад, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - і т.д.

Відтепер, коли у підручнику зустрічається фраза типу «Знайдіть lg 0,01», знайте: це не друкарська помилка. Це десятковий логарифм. Втім, якщо вам незвично таке позначення, його можна переписати:
lg x = log 10 x

Все, що правильне для простих логарифмів, вірно і для десяткових.

Натуральний логарифм

Існує ще один логарифм, який має власну позначку. У певному сенсі він навіть більш важливий, ніж десятковий. Йдеться про натуральний логарифм.

Натуральний логарифм від аргументу x - це логарифм на основі e, тобто. ступінь, в яку треба звести число e щоб отримати число x . Позначення: ln x.

Багато хто запитає: що за число e ? Це ірраціональне число, його точне значення знайти та записати неможливо. Наведу лише перші його цифри:
e = 2,718281828459...

Не заглиблюватимемося, що це за число і навіщо потрібно. Просто пам'ятайте, що e - основа натурального логарифму:
ln x = log e x

Отже, ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - і т.д. З іншого боку, ln 2 - Ірраціональне число. Взагалі, натуральний логарифм будь-якого раціонального числа є ірраціональним. Крім, очевидно, одиниці: ln 1 = 0.

Для натуральних логарифмів справедливі всі правила, які є правильними для звичайних логарифмів.

1.1. Визначення ступеня для цілого показника ступеня

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * ... * X - N разів

1.2. Нульовий ступінь.

За визначенням прийнято вважати, що нульовий ступінь будь-якого числа дорівнює 1:

1.3. Негативний ступінь.

X-N = 1/X N

1.4. Дробний ступінь, корінь.

X 1/N = корінь ступеня N із Х.

Наприклад: X 1/2 = √X.

1.5. Формула складання ступенів.

X (N+M) = X N * X M

1.6.Формула віднімання ступенів.

X (N-M) = X N / X M

1.7. Формула множення ступенів.

X N * M = (X N) M

1.8. Формула зведення дробу на ступінь.

(X/Y) N = X N /Y N

2. Число e.

Значення числа e дорівнює наступній межі:

E = lim(1+1/N), за N → ∞.

З точністю 17 знаків число e дорівнює 2.71828182845904512.

3. Рівність Ейлера.

Ця рівність пов'язує п'ять чисел, які відіграють особливу роль математиці: 0, 1, число e, число пі, уявну одиницю.

E (i*пі) + 1 = 0

4. Експонентна функція exp (x)

exp(x) = e x

5. Похідна експоненційної функції

Експоненційна функція має чудову властивість: похідна функції дорівнює самій експоненційній функції:

(exp(x))" = exp(x)

6. Логарифм.

6.1. Визначення функції логарифм

Якщо x = b y , то логарифм називається функція

Y = Log b(x).

Логарифм показує в яку міру треба звести число - основу логарифму (b), щоб отримати задане число (X). Функція логарифм визначена для X більше нуля.

Наприклад: Log 10(100) = 2.

6.2. Десятковий логарифм

Це логарифм на підставі 10:

Y = Log 10 (x).

Позначається Log(x): Log(x) = Log 10(x).

Приклад використання десяткового логарифму - децибел.

6.3. Децибел

Пункт виділено на окрему сторінку Децибел

6.4. Двійковий логарифм

Це логарифм на підставі 2:

Y = Log 2(x).

Позначається Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. Натуральний логарифм

Це логарифм на основі e:

Y = Log e(x) .

Позначається Ln(x): Ln(x) = Log e(X)
Натуральний логарифм — зворотна функція експоненційної функції exp (X).

6.6. Характерні точки

Log a (1) = 0
Log a (a) = 1

6.7. Формула логарифму твору

Log a (x * y) = Log a (x) + Log a (y)

6.8. Формула логарифму приватного

Log a (x/y) = Log a (x)-Log a (y)

6.9. Формула логарифму ступеня

Log a (x y) = y * Log a (x)

6.10. Формула перетворення до логарифму з іншою основою

Log b (x) = (Log a (x))/Log a (b)

Приклад:

Log 2 (8) = Log 10 (8) / Log 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Формули корисні у житті

Часто виникають завдання перерахунку обсягу площу чи довжину і обернена завдання -- перерахунок площі обсяг. Наприклад, дошки продаються кубами (кубометрами), а нам потрібно розрахувати яку площу стіни можна обшити дошками, що містяться в певному обсязі, див. розрахунок дощок, скільки дощок у кубі. Або, відомі розміри стіни, треба розрахувати кількість цегли, див. розрахунок цегли.

Дозволяється використовувати матеріали сайту за умови встановлення активного посилання на джерело.

Зовсім непогано, правда? Поки математики підбирають слова, щоб дати вам довге плутане визначення, давайте поглянемо ближче на це просте і ясне.

Число e означає зростання

Число e означає безперервне зростання. Як ми бачили в минулому прикладі, e x дозволяє нам ув'язати відсоток і час: 3 роки при зростанні 100% є те саме, що й 1 рік при 300%, за умови "складних відсотків".

Можна підставляти будь-які значення відсотка та часу (50% протягом 4 років), але краще задати відсоток як 100% для зручності (виходить 100% протягом 2 років). За рахунок переходу до 100% ми можемо сфокусуватись виключно на компоненті часу:

e x = e відсоток * час = e 1.0 * час = e час

Очевидно, що e x означає:

• наскільки зросте мій вклад через x одиниць часу (за умови 100% безперервного зростання).
• наприклад, через 3 проміжки часу я отримаю в e 3 = 20.08 разів більше "штуковин".

e x - це масштабуючий коефіцієнт, що показує, якого рівня ми виростемо за x відрізків часу.

Натуральний логарифм означає час

Натуральний логарифм - це інверсія числа e, такий химерний термін позначення протилежності. До речі, про чудасії; латиною він називається logarithmus naturali, звідси і з'явилася абревіатура ln.

І що ця інверсія чи протилежність означає?

• e x дозволяє нам підставити час та отримати зростання.
• ln(x) дозволяє нам взяти зростання або дохід і дізнатися про час, необхідний для його отримання.

Наприклад:

• e 3 дорівнює 20.08. Через три відрізки часу у нас буде в 20.08 разів більше за те, з чого ми почали.
• ln(20.08) буде приблизно 3. Якщо вас цікавить зростання в 20.08 разів, вам знадобиться 3 проміжки часу (знову ж таки, за умови стовідсоткового безперервного зростання).

Чи все ще читаєте? Натуральний логарифм показує час, необхідний для досягнення бажаного рівня.

Цей нестандартний логарифмічний рахунок

Ви проходили логарифми – це дивні істоти. Як їм вдалося перетворити множення на додавання? А розподіл у віднімання? Давайте подивимося.

Чому дорівнює ln(1)? Інтуїтивно зрозуміло, що питання стоїть так: скільки потрібно чекати, щоб отримати в 1 раз більше того, що я маю?

Нуль. Нуль. Анітрохи. У вас це вже є один раз. Не потрібно анітрохи часу, щоб від рівня 1 дорості до рівня 1.

• ln(1) = 0

Добре, що щодо дробового значення? Через скільки у нас залишиться 1/2 від наявної кількості? Ми знаємо, що за стовідсоткове безперервне зростання ln(2) означає час, необхідний подвоєння. Якщо ми звернемо час назад(тобто почекаємо негативну кількість часу), то отримаємо половину від того, що маємо.

• ln(1/2) = -ln(2) = -0.693

Логічно, правда? Якщо ми повернемося назад (час назад) на 0.693 секунд, то виявимо половину наявної кількості. Взагалі, можна перевертати дріб і брати негативне значення: ln(1/3) = -ln(3) = -1.09. Це означає, що якщо ми повернемося в минуле на 1.09 відрізків часу, то виявимо лише третину від нинішнього числа.

Гаразд, а як щодо логарифму негативного числа? Скільки часу потрібно, щоб виростити колонію бактерій від 1 до -3?

Це неможливо! Не можна отримати негативну кількість бактерій, чи не так? Ви можете отримати максимум (е... мінімум) нуль, але вам ніяк не отримати негативне число цих маленьких тварин. У негативному числі бактерій немає сенсу.

• ln(негативне число) = невизначено

"Невизначено" означає, що немає такого проміжку часу, який би треба було прочекати, щоб отримати негативне значення.

Логарифмічне множення – просто втомлення

Скільки часу займе чотириразове зростання? Звісно, ​​можна взяти ln(4). Але це дуже просто, ми підемо іншим шляхом.

Можна уявити чотириразове зростання як подвоєння (що вимагає ln(2) одиниць часу) і потім знову подвоєння (що вимагає ще ln(2) одиниць часу):

• Час на 4х ріст = ln(4) = Час на подвоїться і потім ще раз подвоїться = ln(2) + ln(2)

Цікаво. Будь-який показник зростання, скажімо, 20 можна розглядати як подвоєння відразу після 10-кратного збільшення. Або зростання в 4 рази, а потім у 5 разів. Або потроєння і потім збільшення в 6.666 разів. Бачите закономірність?

• ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Логарифм від A, помноженого на B є log(A) + log(B). Це ставлення відразу набуває сенсу, якщо оперувати в термінах зростання.

Якщо вас цікавить 30-кратне зростання, ви можете почекати ln(30) за один присід, або ж почекати ln(3) Для потроєння, а потім ще ln(10) для удесятірення. Кінцевий результат той самий, так що звичайно час повинен залишатися постійним (і залишається).

Що на рахунок розподілу? Зокрема, ln(5/3) означає: скільки часу знадобиться для того, щоб вирости в 5 разів, а потім отримати 1/3 від цього?

Добре, зростання в 5 разів є ln (5). Зростання у 1/3 разу займе -ln(3) одиниць часу. Отже,

• ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Це означає: дайте вирости в 5 разів, а потім "поверніться в часі" до тієї позначки, де залишиться всього третина від тієї кількості, так що у вас вийде 5/3 зростання. Загалом виходить

• ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Я сподіваюся, що дивна арифметика логарифмів починає набувати для вас сенсу: множення показників зростання стає додаванням одиниць часу зростання, а розподіл перетворюється на віднімання одиниць часу. Не треба запам'ятовувати правила, спробуйте їх усвідомити.

Використання натурального логарифму при довільному зростанні

Ну звичайно, - скажете ви, - це все добре, якщо зростання 100%, а що у випадку 5%, які я отримую?

Немає проблем. "Час", який ми розраховуємо за допомогою ln(), насправді є комбінацією відсоткової ставки та часу, що є Х з рівняння e x . Ми лише вирішили задати відсоток як 100% для простоти, але ми вільні використовувати будь-які числа.

Допустимо, ми хочемо досягти 30-кратного зростання: беремо ln(30) і отримуємо 3.4.

• e x = зростання
• e 3.4 = 30

Очевидно, це рівняння означає "100% прибутковість протягом 3.4 років дає зростання в 30 разів". Ми можемо записати це рівняння у такому вигляді:

• e x = e ставка * час
• e 100% * 3.4 роки = 30

Ми можемо змінювати значення "ставки" та "часу", аби ставка * час залишався 3.4. Наприклад, якщо нас цікавить 30-кратне зростання - скільки нам доведеться чекати за процентної ставки 5%?

• ln(30) = 3.4
• ставка * час = 3.4
• 0.05 * час = 3.4
• час = 3.4/0.05 = 68 років

Я міркую так: "ln(30) = 3.4, отже, при 100%-ном зростанні це займе 3.4 року. Якщо я подвоюю швидкість зростання, необхідний час зменшиться вдвічі".

• 100% за 3.4 роки = 1.0 * 3.4 = 3.4
• 200% за 1.7 року = 2.0 * 1.7 = 3.4
• 50% за 6.8 року = 0.5 * 6.8 = 3.4
• 5% за 68 роки = .05 * 68 = 3.4.

Здорово, правда? Натуральний логарифм може використовуватися з будь-якими значеннями процентної ставки та часу, оскільки їхній твір залишається постійним. Можете переміщати значення змінних скільки душі завгодно.

Відпадний приклад: Правило сімдесяти двох

Правило сімдесяти двох – математичний прийом, що дозволяє оцінити, скільки часу знадобиться, щоб ваші гроші подвоїлися. Зараз ми його виведемо (так!), і більше того, спробуємо усвідомити його суть.

Скільки часу знадобиться, щоб подвоїти ваші гроші за 100% ставку, що наростає щорічно?

Оп-па. Ми використовували натуральний логарифм для випадку з безперервним зростанням, а тепер ти говориш про щорічне нарахування? Чи не стане ця формула непридатною для такого випадку? Так, стане, однак для реальних відсоткових ставок на кшталт 5%, 6% або навіть 15% різниця між щорічним нарахуванням відсотків і безперервним зростанням буде невелика. Так що груба оцінка працює, мм, грубо, так що ми вдамо, що у нас повністю безперервне нарахування.

Тепер питання просте: Як швидко можна подвоїтися при 100% зростання? ln(2) = 0.693. Потрібно 0.693 одиниць часу (років – у нашому випадку), щоб подвоїти нашу суму з безперервним зростанням 100%.

Так, а що якщо процентна ставка – не 100%, а скажімо, 5% чи 10%?

Легко! Оскільки ставка * час = 0.693, ми подвоїмо суму:

• ставка * час = 0.693
• час = 0.693/ставка

Виходить, якщо зростання 10%-не, це займе 0.693 / 0.10 = 6.93 років на подвоєння.

Щоб спростити обчислення, давайте домножимо обидві частини на 100, тоді можна буде говорити "10", а не "0.10":

• час на подвоєння = 69.3/ставка, де ставка виражена у відсотках.

Тепер черга подвоюватись при ставці 5%, 69.3/5 = 13.86 років. Однак 69.3 - не найзручніше ділене. Давайте виберемо близьке число, 72, яке зручно ділити на 2, 3, 4, 6, 8 та інші числа.

• час на подвоєння = 72/ставка

що є правилом сімдесяти двох. Все шито-крите.

Якщо вам потрібно знайти час для потроєння, можете використовувати ln(3) ~ 109.8 та отримати

• час на потроєння = 110 / ставка

Що є ще одним корисним правилом. "Правило 72" застосовується до зростання за відсотковими ставками, зростання населення, культур бактерій, і всього, що росте експоненційно.

Що далі?

Сподіваюся, натуральний логарифм тепер набув вам сенсу - він показує час, необхідний для зростання будь-якого числа при експоненційному зростанні. Я думаю, натуральним він називається тому, що e – універсальна міра зростання, так що ln можна вважати універсальним способом визначення, скільки часу потрібно для зростання.

Щоразу, коли ви бачите ln(x), згадуйте "час, потрібний, щоб вирости в Х разів". У майбутній статті я опишу e і ln у зв'язці, так що свіжий аромат математики заповнить повітря.

Додаток: Натуральний логарифм від e

Швидка вікторина: скільки буде ln(e)?

• математичний робот скаже: оскільки вони визначені як інверсія одна одною, очевидно, що ln(e) = 1.
• розуміє людина: ln(e) це кількість часу, щоб вирости в "е" раз (близько 2.718). Проте число e саме собою є мірою зростання в 1 раз, отже ln(e) = 1.

Думайте ясно.

9 вересня 2013

Перш ніж познайомиться з поняттям натурального логарифму, розглянемо поняття постійного числа $е$.

Число $e$

Визначення 1

Число $e$– це математичне постійне, яке є трансцендентним числом і дорівнює $e \approx 2,718281828459045\ldots$.

Визначення 2

трансцендентнимназивається число, яке є коренем полінома з цілими коефіцієнтами.

Зауваження 1

Останньою формулою описується друга чудова межа.

Число е також зветься числа Ейлера, а іноді й числа Непера.

Примітка 2

Щоб запам'ятати перші знаки числа $е$ часто користуються таким виразом: "$2$, $7$, двічі Лев Толстой". Звичайно ж, для того, щоб можна було його використати, необхідно пам'ятати, що Лев Толстой народився в $1828$ р. Саме ці числа двічі повторюються у значенні числа $е$ після цілої частини $2$ та десяткової $7$.

Розгляд поняття числа $е$ при вивченні натурального логарифму ми розпочали саме тому, що воно стоїть на основі логарифму $\log_(e)⁡a$, який прийнято називати натуральнимі записувати як $\ln ⁡a$.

Натуральний логарифм

Часто при розрахунках використовують логарифми, на основі яких стоїть число $е$.

Визначення 4

Логарифм із основою $е$ називають натуральним.

Тобто. натуральний логарифм можна позначити як $\log_(e)⁡a$, але в математиці прийнято використовувати позначення $ln ⁡a$.

Властивості натурального логарифму

Т.к. логарифм з будь-якої основи від одиниці дорівнює $0$, то і натуральний логарифм одиниці дорівнює $0$:

Натуральний логарифм від $е$ дорівнює одиниці:

Натуральний логарифм добутку двох чисел дорівнює сумі натуральних логарифмів від цих чисел:

$\ln ⁡(ab)=\ln ⁡a+\ln ⁡b$.

Натуральний логарифм окремого двох чисел дорівнює різниці натуральних логарифмів цих чисел:

$\ln⁡\frac(a)(b)=\ln ⁡a-\ln⁡ b$.

Натуральний логарифм ступеня числа може бути представлений у вигляді добутку показника ступеня на натуральний логарифм підлогарифмічного числа:

$\ln⁡ a^s=s \cdot \ln⁡ a$.

Приклад 1

Спростити вираз $\frac(2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)$.

Рішення.

Застосуємо до першого логарифму в чисельнику та в знаменнику властивість логарифму твору, а до другого логарифму чисельника та знаменника – властивість логарифму ступеня:

$\frac(2 \ln ⁡4e-\ln⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)=\frac(2(\ln ⁡4+\ln ⁡e) -\ln⁡ 4^2)(\ln ⁡5+\ln ⁡e-\frac(1)(2) \ln⁡ 5^2)=$

відкриємо дужки та наведемо подібні доданки, а також застосуємо властивість $\ln ⁡e=1$:

$=\frac(2 \ln ⁡4+2-2 \ln ⁡4)(\ln ⁡5+1-\frac(1)(2) \cdot 2 \ln ⁡5)=\frac(2)( \ln ⁡5+1-\ln ⁡5) = 2 $.

Відповідь: $\frac(2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)=2$.

Приклад 2

Знайти значення виразу $\ln⁡ 2e^2+ln \frac(1)(2e)$.

Рішення.

Застосуємо формулу суми логарифмів:

$\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=\ln 2e^2 \cdot \frac(1)(2e)=\ln ⁡e=1$.

Відповідь: $\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=1$.

Приклад 3

Обчислити значення логарифмічного виразу $2 \lg ⁡0,1+3 \ln⁡ e^5$.

Рішення.

Застосуємо властивість логарифму ступеня:

$2 \lg ⁡0,1+3 \ln e^5=2 \lg 10^(-1)+3 \cdot 5 \ln ⁡e=-2 \lg ⁡10+15 \ln ⁡e=-2+ 15 = 13 $.

Відповідь: $2 \lg ⁡0,1+3 \ln e^5=13$.

Приклад 4

Спростити логарифмічний вираз $\ln \frac(1)(8)-3 \ln ⁡4$.

$3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln ⁡27=3 \ln (\frac(3)(e))^2-2 \ln 3^3=3 \cdot 2 \ln \ frac(3)(e)-2 \cdot 3 \ln ⁡3=6 \ln \frac(3)(e)-6 \ln ⁡3=$

застосуємо до першого логарифму властивість приватного логарифму:

$=6(\ln ⁡3-\ln ⁡e)-6 \ln⁡ 3=$

відкриємо дужки і наведемо такі складові:

$=6 \ln ⁡3-6 \ln ⁡e-6 \ln ⁡3=-6$.

Відповідь: $3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln ⁡27=-6$.