Inštrukcie

V prvom rade je potrebné pochopiť, že bočný povrch pyramídy predstavuje niekoľko trojuholníkov, ktorých oblasti možno nájsť pomocou rôznych vzorcov v závislosti od známych údajov:

S = (a*h)/2, kde h je výška znížená na stranu a;

S = a*b*sinβ, kde a, b sú strany trojuholníka a β je uhol medzi týmito stranami;

S = (r*(a + b + c))/2, kde a, b, c sú strany trojuholníka a r je polomer kružnice vpísanej do tohto trojuholníka;

S = (a*b*c)/4*R, kde R je polomer trojuholníka opísaného kružnici;

S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (ak je trojuholník pravouhlý);

S = S = (a²*√3)/4 (ak je trojuholník rovnostranný).

V skutočnosti sú to len najzákladnejšie známe vzorce na nájdenie oblasti trojuholníka.

Po vypočítaní plôch všetkých trojuholníkov, ktoré sú stranami pyramídy pomocou vyššie uvedených vzorcov, môžete začať počítať plochu tejto pyramídy. To sa robí veľmi jednoducho: musíte spočítať plochy všetkých trojuholníkov, ktoré tvoria bočný povrch pyramídy. Dá sa to vyjadriť vzorcom:

Sp = ΣSi, kde Sp je plocha bočnej plochy, Si je plocha i-tého trojuholníka, ktorý je súčasťou jeho bočnej plochy.

Pre väčšiu prehľadnosť môžeme zvážiť malý príklad: daná pravidelná pyramída, ktorej bočné strany sú tvorené rovnostrannými trojuholníkmi a na jej základni leží štvorec. Dĺžka okraja tejto pyramídy je 17 cm. Je potrebné nájsť plochu bočného povrchu tejto pyramídy.

Riešenie: dĺžka okraja tejto pyramídy je známa, je známe, že jej steny sú rovnostranné trojuholníky. Môžeme teda povedať, že všetky strany všetkých trojuholníkov na bočnom povrchu sa rovnajú 17 cm. Preto, aby ste mohli vypočítať plochu ktoréhokoľvek z týchto trojuholníkov, budete musieť použiť vzorec:

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

Je známe, že na základni pyramídy leží štvorec. Je teda jasné, že sú dané štyri rovnostranné trojuholníky. Potom sa plocha bočného povrchu pyramídy vypočíta takto:

125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Odpoveď: Bočný povrch pyramídy je 500,548 cm²

Najprv vypočítajme plochu bočného povrchu pyramídy. Bočná plocha je súčtom plôch všetkých bočných plôch. Ak máte čo do činenia s pravidelnou pyramídou (teda takou, ktorá má na svojej základni pravidelný mnohouholník a vrchol sa premieta do stredu tohto mnohouholníka), potom na výpočet celej bočnej plochy stačí vynásobiť obvod základňu (čiže súčet dĺžok všetkých strán mnohouholníka ležiaceho pri základnom ihlane) výškou bočnej plochy (inak nazývanej apotém) a výslednú hodnotu vydelíme 2: Sb = 1/2P* h, kde Sb je plocha bočného povrchu, P je obvod základne, h je výška bočnej plochy (apotém).

Ak máte pred sebou ľubovoľnú pyramídu, budete musieť samostatne vypočítať plochy všetkých tvárí a potom ich sčítať. Pretože bočné strany pyramídy sú trojuholníky, použite vzorec pre oblasť trojuholníka: S=1/2b*h, kde b je základňa trojuholníka a h je výška. Keď sú vypočítané plochy všetkých plôch, zostáva ich len sčítať, aby sme získali plochu bočného povrchu pyramídy.

Potom musíte vypočítať plochu základne pyramídy. Výber vzorca na výpočet závisí od toho, ktorý polygón leží na základni pyramídy: pravidelný (to znamená jeden so všetkými stranami rovnakej dĺžky) alebo nepravidelný. Plochu pravidelného mnohouholníka možno vypočítať vynásobením obvodu polomerom kružnice vpísanej do mnohouholníka a vydelením výslednej hodnoty 2: Sn = 1/2P*r, kde Sn je plocha mnohouholník, P je obvod a r je polomer kružnice vpísanej do mnohouholníka .

Zrezaný ihlan je mnohosten, ktorý je tvorený ihlanom a jeho prierez je rovnobežný so základňou. Nájsť bočnú plochu pyramídy nie je vôbec ťažké. Je to veľmi jednoduché: plocha sa rovná súčinu polovice súčtu základov podľa apotému. Uvažujme o príklade výpočtu plochy bočného povrchu zrezanej pyramídy. Predpokladajme, že máme pravidelnú štvorhrannú pyramídu. Dĺžky základne sú b = 5 cm, c = 3 cm. Apotém a = 4 cm. Aby ste našli plochu bočného povrchu pyramídy, musíte najskôr nájsť obvod základne. Vo veľkej základni sa bude rovnať p1=4b=4*5=20 cm. V menšej základni bude vzorec takýto: p2=4c=4*3=12 cm. Preto sa plocha bude rovnať : s=1/2(20+12)*4=32/2*4=64 cm.

Pyramída je mnohosten, ktorého jedna plocha (základňa) je ľubovoľný mnohouholník a zvyšné plochy (strany) sú trojuholníky so spoločným vrcholom. Podľa počtu uhlov je základňa pyramídy trojuholníková (tetrahedron), štvoruholníková atď.

Pyramída je mnohosten so základňou vo forme mnohouholníka a zvyšné steny sú trojuholníky so spoločným vrcholom. Apotém je výška bočnej steny pravidelnej pyramídy, ktorá je nakreslená z jej vrcholu.

Plocha bočného povrchu pravidelnej pyramídy sa rovná súčinu jej apotému a polovice obvodu základne.

Čo sa týka celkovej plochy, jednoducho pripočítame základnú plochu k tej bočnej.

Bočný povrch pravidelnej pyramídy sa rovná súčinu pol obvodu základne a apotému.

dôkaz:

Ak je strana základne a, počet strán je n, potom sa bočný povrch pyramídy rovná:

a l n/2 = a n l/2 = pl/2

kde l je apotém a p je obvod základne pyramídy. Veta bola dokázaná.

Tento vzorec znie takto:

Plocha bočného povrchu pravidelnej pyramídy sa rovná polovici súčinu obvodu základne a apotému pyramídy.

Celková plocha pyramídy sa vypočíta podľa vzorca:

S plný = S strane +S základné

Ak je pyramída nepravidelná, potom sa jej bočná plocha bude rovnať súčtu plôch jej bočných plôch.

Objem pyramídy

Objem pyramída sa rovná jednej tretine súčinu plochy základne a výšky.

Dôkaz. Začneme od trojuholníkového hranola. Narysujme rovinu cez vrchol A" hornej podstavy hranola a protiľahlú hranu BC spodnej podstavy. Táto rovina odreže z hranola trojuholníkový ihlan A" ABC. Zvyšnú časť hranola rozložíme na pevné telesá, pričom nakreslíme rovinu cez uhlopriečky A"C a B"C bočných plôch. Výsledné dve telesá sú tiež pyramídy. Ak považujeme trojuholník A"B"C" za základňu jedného z nich a C za jeho vrchol, vidíme, že jeho základňa a výška sú rovnaké ako pri prvej pyramíde, ktorú sme odrezali, preto pyramídy A"ABC a CA"B"C" majú rovnakú veľkosť. Okrem toho sú obe nové pyramídy CA"B"C" a A"B"BC rovnako veľké - to bude jasné, ak vezmeme trojuholníky BBC" a B"CC ako ich základne. Pyramídy CA"B"C" a A"B "Slnká majú spoločný vrchol A" a ich základne sú umiestnené v rovnakej rovine a sú rovnaké, preto sú pyramídy rovnako veľké. Takže hranol sa rozloží na tri pyramídy rovnakej veľkosti, pričom objem každej z nich sa rovná jednej tretine objemu hranola. Keďže tvar podstavy nie je dôležitý, vo všeobecnosti je objem n-gonálneho ihlana rovná jednej tretine objemu hranola s rovnakou výškou a rovnakou (alebo rovnakou) základňou. Pripomeňme si vzorec vyjadrujúci objem hranola, V=Sh, dostaneme konečný výsledok: V=1/3Sh

Celková plocha bočného povrchu pyramídy pozostáva zo súčtu plôch jej bočných plôch.

V štvorhrannej pyramíde sú dva typy plôch - štvoruholník na základni a trojuholníky so spoločným vrcholom, ktoré tvoria bočnú plochu.
Najprv musíte vypočítať plochu bočných plôch. Na tento účel môžete použiť vzorec pre plochu trojuholníka alebo môžete použiť aj vzorec pre plochu štvoruholníkovej pyramídy (iba ak je mnohosten pravidelný). Ak je pyramída pravidelná a je známa dĺžka hrany a základne a apotéma h k nej nakreslená, potom:

Ak je podľa podmienok daná dĺžka hrany c pravidelnej pyramídy a dĺžka strany základne a, potom môžete zistiť hodnotu pomocou nasledujúceho vzorca:

Ak je daná dĺžka hrany na základni a ostrý uhol oproti nej hore, potom sa plocha bočného povrchu môže vypočítať ako pomer štvorca strany a k dvojitému kosínusu polovice uhol α:

Uvažujme o príklade výpočtu povrchovej plochy štvorhrannej pyramídy cez bočnú hranu a stranu základne.

Problém: Nech je daný pravidelný štvoruholníkový ihlan. Dĺžka hrany b = 7 cm, dĺžka základnej strany a = 4 cm. Uvedené hodnoty dosaďte do vzorca:

Ukázali sme výpočty plochy jednej bočnej steny pre pravidelnú pyramídu. Respektíve. Ak chcete nájsť plochu celého povrchu, musíte výsledok vynásobiť počtom plôch, to znamená 4. Ak je pyramída ľubovoľná a jej plochy sa navzájom nerovnajú, je potrebné vypočítať plochu pre každú jednotlivú stranu. Ak je základom obdĺžnik alebo rovnobežník, potom stojí za to pamätať ich vlastnosti. Strany týchto obrázkov sú v pároch rovnobežné, a teda aj strany pyramídy budú v pároch identické.
Vzorec pre oblasť základne štvorhrannej pyramídy priamo závisí od toho, ktorý štvoruholník leží na základni. Ak je pyramída správna, potom sa plocha základne vypočíta pomocou vzorca, ak je základňa kosoštvorec, budete si musieť zapamätať, ako sa nachádza. Ak je na základni obdĺžnik, nájdenie jeho oblasti bude celkom jednoduché. Stačí poznať dĺžky strán základne. Uvažujme o príklade výpočtu plochy základne štvorhrannej pyramídy.

Úloha: Nech je daná pyramída, na základni ktorej leží obdĺžnik so stranami a = 3 cm, b = 5 cm, z vrcholu pyramídy na každú zo strán sa spustí apotém. h-a = 4 cm, h-b = 6 cm Vrch pyramídy leží na tej istej priamke ako priesečník uhlopriečok. Nájdite celkovú plochu pyramídy.
Vzorec pre oblasť štvorhrannej pyramídy pozostáva zo súčtu plôch všetkých plôch a plochy základne. Najprv nájdime oblasť základne:


Teraz sa pozrime na strany pyramídy. V pároch sú totožné, pretože výška pyramídy pretína priesečník uhlopriečok. To znamená, že v našej pyramíde sú dva trojuholníky so základňou a a výškou h-a, ako aj dva trojuholníky so základňou b a výškou h-b. Teraz nájdime oblasť trojuholníka pomocou známeho vzorca:


Teraz urobme príklad výpočtu plochy štvorhrannej pyramídy. V našej pyramíde s obdĺžnikom na základni by vzorec vyzeral takto:

Zadajte počet strán, dĺžku strany a apotém:

Definícia pyramídy

Pyramída je mnohosten, ktorého základňa je mnohouholník a jeho strany sú trojuholníky.

Online kalkulačka

Stojí za to zastaviť sa pri definícii niektorých zložiek pyramídy.

Ona, rovnako ako iné mnohosteny, má rebrá. Konvergujú do jedného bodu tzv top pyramídy. Môže byť založený na ľubovoľnom polygóne. Hrana je geometrický útvar tvorený jednou zo strán základne a dvoma najbližšími okrajmi. V našom prípade je to trojuholník. Výška pyramída je vzdialenosť od roviny, v ktorej leží jej základňa, k vrcholu mnohostenu. Pre pravidelnú pyramídu existuje aj koncept apotémy- je to kolmica zostupujúca z vrcholu pyramídy k jej základni.

Druhy pyramíd

Existujú 3 typy pyramíd:

1. Obdĺžnikový- taký, v ktorom ktorákoľvek hrana zviera so základňou pravý uhol.
2. Správne- jeho základňa je pravidelný geometrický útvar a samotný vrchol mnohouholníka je priemetom stredu základne.
3. Tetrahedron- pyramída zložená z trojuholníkov. Navyše, každý z nich môže byť braný ako základ.

Vzorec pre povrch pyramídy

Ak chcete nájsť celkovú plochu pyramídy, musíte pridať plochu bočnej plochy a plochu základne.

Najjednoduchším prípadom je prípad pravidelnej pyramídy, preto sa mu budeme venovať. Vypočítajme celkovú plochu takejto pyramídy. Bočný povrch je:

S strana = 1 2 ⋅ l ⋅ p S_(\text(strana))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot pS strane​ = 2 1 ​ ⋅ l ⋅p

Ll l- apotém pyramídy;
p p p- obvod základne pyramídy.

Celková plocha pyramídy:

S = S strana + S hlavná S=S_(\text(strana))+S_(\text(hlavná))S=S strane​ + S základné​

S strana S_(\text(strana)) S strane​ - plocha bočného povrchu pyramídy;
S hlavné S_(\text(základné)) S základné​ - plocha základne pyramídy.

Príklad riešenia problému.

Príklad

Nájdite celkovú plochu trojuholníkovej pyramídy, ak je jej apotém 8 (cm) a na základni je rovnostranný trojuholník so stranou 3 (cm)

Riešenie

L = 8 l = 8 l =8
a = 3 a = 3 a =3

Nájdeme obvod základne. Pretože základňa je rovnostranný trojuholník so stranou a a a, potom jeho obvod p p p(súčet všetkých jeho strán):

P = a + a + a = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 3 = 9 p=a+a+a=3\cdot a=3\cdot 3=9p =a+a+a =3 ⋅ a =3 ⋅ 3 = 9

Potom je bočná oblasť pyramídy:

Strana S = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 8 ⋅ 9 = 36 S_(\text(strana))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 8\cdot 9=36S strane​ = 2 1 ​ ⋅ l ⋅p =2 1 ​ ⋅ 8 ⋅ 9 = 3 6 (pozri námestie)

Teraz nájdime oblasť základne pyramídy, to znamená oblasť trojuholníka. V našom prípade je trojuholník rovnostranný a jeho obsah možno vypočítať podľa vzorca:

S main = 3 ⋅ a 2 4 S_(\text(základný))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)S základné​ = 4 3 ​ ⋅ a 2 ​

A a a- strana trojuholníka.

Dostaneme:

S main = 3 ⋅ a 2 4 = 3 ⋅ 3 2 4 ≈ 3,9 S_(\text(základné))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)=\frac(\sqrt(3 )\cdot 3^2)(4)\približne 3,9S základné​ = 4 3 ​ ⋅ a 2 ​ = 4 3 ​ ⋅ 3 2 ​ ≈ 3 . 9 (pozri námestie)

Celková plocha:

S = S strana + S hlavná ≈ 36 + 3,9 = 39,9 S=S_(\text(strana))+S_(\text(hlavná))\približne 36+3,9=39,9S=S strane​ + S základné​ ≈ 3 6 + 3 . 9 = 3 9 . 9 (pozri námestie)

odpoveď: 39,9 cm štvorcových

Ďalší príklad, trochu komplikovanejší.

Príklad

Základňa pyramídy je štvorec s plochou 36 (cm2). Apotém mnohostenu je 3-násobkom strany základne a a a. Nájdite celkovú plochu tohto obrázku.

Riešenie

S quad = 36 S_(\text(quad)) = 36S štvorkolka​ = 3 6
l = 3 ⋅ a l = 3\cdot a l =3 ⋅ a

Nájdeme stranu základne, teda stranu štvorca. Jeho plocha a dĺžka strany súvisia:

S quad = a 2 S_(\text(quad))=a^2S štvorkolka​ = a 2
36 = a 2 36 = a^2 3 6 = a 2
a = 6 a = 6 a =6

Nájdite obvod základne pyramídy (to znamená obvod štvorca):

P = a + a + a + a = 4 ⋅ a = 4 ⋅ 6 = 24 p=a+a+a+a=4\cdot a=4\cdot 6=24p =a+a+a+a =4 ⋅ a =4 ⋅ 6 = 2 4

Poďme zistiť dĺžku apotémy:

L = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 6 = 18 l=3\cdot a=3\cdot 6=18l =3 ⋅ a =3 ⋅ 6 = 1 8

V našom prípade:

S quad = S hlavná S_(\text(quad))=S_(\text(basic))S štvorkolka​ = S základné​

Zostáva len nájsť oblasť bočného povrchu. Podľa vzorca:

Strana S = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 18 ⋅ 24 = 216 S_(\text(strana))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 18\cdot 24=216S strane​ = 2 1 ​ ⋅ l ⋅p =2 1 ​ ⋅ 1 8 ⋅ 2 4 = 2 1 6 (pozri námestie)

Celková plocha:

$S=S^{\text{strane + Szákladné = 2 1 6 + 3 6 = 2 5 2 (pozri námestie)}}$

odpoveď: 252 cm štvorcových

Trojuholníková pyramída je mnohosten, ktorého základňou je pravidelný trojuholník.

V takejto pyramíde sú okraje základne a okraje strán navzájom rovnaké. V súlade s tým sa plocha bočných plôch zistí zo súčtu plôch troch identických trojuholníkov. Bočný povrch pravidelnej pyramídy nájdete pomocou vzorca. A výpočet môžete vykonať niekoľkokrát rýchlejšie. Aby ste to dosiahli, musíte použiť vzorec pre oblasť bočného povrchu trojuholníkovej pyramídy:

kde p je obvod základne, ktorej všetky strany sa rovnajú b, a je apotém znížený zhora na túto základňu. Uvažujme o príklade výpočtu plochy trojuholníkovej pyramídy.

Problém: Nech je daná pravidelná pyramída. Strana trojuholníka pri základni je b = 4 cm. Apotém pyramídy je a = 7 cm. Nájdite plochu bočného povrchu pyramídy.
Keďže podľa podmienok úlohy poznáme dĺžky všetkých potrebných prvkov, nájdeme obvod. Pamätáme si, že v pravidelnom trojuholníku sú všetky strany rovnaké, a preto sa obvod vypočíta podľa vzorca:

Nahradíme dáta a nájdeme hodnotu:

Teraz, keď poznáme obvod, môžeme vypočítať plochu bočného povrchu:

Ak chcete použiť vzorec pre oblasť trojuholníkovej pyramídy na výpočet plnej hodnoty, musíte nájsť oblasť základne mnohostenu. Ak to chcete urobiť, použite vzorec:

Vzorec pre oblasť základne trojuholníkovej pyramídy môže byť odlišný. Pre daný údaj je možné použiť ľubovoľný výpočet parametrov, ale najčastejšie sa to nevyžaduje. Uvažujme o príklade výpočtu plochy základne trojuholníkovej pyramídy.

Problém: V pravidelnej pyramíde je strana trojuholníka na základni a = 6 cm. Vypočítajte plochu základne.
Na výpočet potrebujeme iba dĺžku strany pravidelného trojuholníka umiestneného na základni pyramídy. Dosadíme údaje do vzorca:

Pomerne často musíte nájsť celkovú plochu mnohostenu. Aby ste to dosiahli, musíte spočítať plochu bočného povrchu a základne.

Uvažujme o príklade výpočtu plochy trojuholníkovej pyramídy.

Problém: Nech je daná pravidelná trojuholníková pyramída. Základná strana je b = 4 cm, apotém je a = 6 cm. Nájdite celkovú plochu pyramídy.
Najprv nájdime plochu bočného povrchu pomocou už známeho vzorca. Vypočítajme obvod:

Doplňte údaje do vzorca:
Teraz nájdime oblasť základne:
Keď poznáme plochu základne a bočného povrchu, nájdeme celkovú plochu pyramídy:

Pri výpočte plochy pravidelnej pyramídy by ste nemali zabúdať, že základňa je pravidelný trojuholník a mnohé prvky tohto mnohostenu sú si navzájom rovné.