Натурал логарифмын суурь нь юу вэ? Натурал логарифм, ln x функц. Натурал логарифм гэдэг нь цаг хугацаа гэсэн үг

e тоон дээр үндэслэн: ln x = log e x.

Байгалийн логарифм нь математикт өргөн хэрэглэгддэг, учир нь түүний дериватив нь хамгийн энгийн хэлбэртэй байдаг. (ln x)′ = 1/ x.

Үндэслэсэн тодорхойлолтууд, натурал логарифмын суурь нь тоо юм д:
e ≅ 2.718281828459045...;
.

y = функцийн график ln x.

Натурал логарифмын график (функц у = ln x) нь y = x шулуунтай харьцуулахад толин тусгалаар экспоненциал графикаас гарна.

Натурал логарифм нь x хувьсагчийн эерэг утгуудын хувьд тодорхойлогддог. Энэ нь тодорхойлолтын хүрээнд монотоноор нэмэгддэг.

x → дээр 0 натурал логарифмын хязгаар нь хасах хязгааргүй (-∞) юм.

x → + ∞ тул натурал логарифмын хязгаар нь хязгааргүй (+ ∞) байна. Том х-ийн хувьд логарифм нэлээд удаан өсдөг. А эерэг үзүүлэлттэй аливаа х a чадлын функц логарифмаас хурдан өсдөг.

Натурал логарифмын шинж чанарууд

Тодорхойлолт, утгын багц, экстремум, өсөлт, бууралт

Натурал логарифм нь нэг хэвийн өсөлттэй функц тул экстремумгүй. Байгалийн логарифмын үндсэн шинж чанаруудыг хүснэгтэд үзүүлэв.

ln x утгууд

ln 1 = 0

Байгалийн логарифмын үндсэн томъёо

Урвуу функцийн тодорхойлолтоос үүссэн томъёонууд:

Логарифмын үндсэн шинж чанар ба түүний үр дагавар

Суурь солих томъёо

Аливаа логарифмыг үндсэн орлуулалтын томъёог ашиглан натурал логарифмын хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Эдгээр томъёоны нотолгоог "Логарифм" хэсэгт үзүүлэв.

Урвуу функц

Натурал логарифмын урвуу нь экспонент юм.

Хэрэв бол

Хэрэв, тэгвэл.

Дериватив ln x

Натурал логарифмын дериватив:
.
X модулийн натурал логарифмын дериватив:
.
n-р эрэмбийн дериватив:
.
Томьёог гарган авах > > >

Интеграл

Интегралыг хэсгүүдээр интегралд тооцно.
.
Тэгэхээр,

Комплекс тоо ашигласан илэрхийлэл

z цогцолбор хувьсагчийн функцийг авч үзье.
.
Комплекс хувьсагчийг илэрхийлье zмодулиар дамжуулан rболон маргаан φ :
.
Логарифмын шинж чанарыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.
.
Эсвэл
.
φ аргумент нь өвөрмөц байдлаар тодорхойлогдоогүй байна. Хэрэв та тавьсан бол
, энд n нь бүхэл тоо,
Энэ нь өөр n-ийн хувьд ижил тоо байх болно.

Тиймээс комплекс хувьсагчийн функц болох натурал логарифм нь нэг утгатай функц биш юм.

Эрчим хүчний цувралын өргөтгөл

Өргөтгөх үед:

Лавлагаа:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Инженер, коллежийн оюутнуудад зориулсан математикийн гарын авлага, "Лан", 2009 он.

Тэгэхээр бид хоёр эрх мэдэлтэй. Хэрэв та доод шугамаас тоог авбал энэ тоог авахын тулд хоёрыг өсгөх шаардлагатай хүчийг хялбархан олох боломжтой. Жишээлбэл, 16-г авахын тулд та хоёрыг дөрөв дэх хүчийг нэмэгдүүлэх хэрэгтэй. Мөн 64-ийг авахын тулд хоёрыг зургаа дахь зэрэглэлд хүргэх хэрэгтэй. Үүнийг хүснэгтээс харж болно.

Одоо үнэндээ логарифмын тодорхойлолт:

Х-ийн логарифмын суурь нь х-г авахын тулд а-г өсгөх ёстой хүч юм.

Тэмдэглэгээ: log a x = b, энд a нь суурь, x нь аргумент, b нь логарифм нь үнэндээ тэнцүү байна.

Жишээ нь, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (8-ын суурь 2 логарифм нь 2 3 = 8 учраас гурван). Үүнтэй ижил амжилтаар 2 64 = 6 бүртгэл, учир нь 2 6 = 64.

Өгөгдсөн суурь хүртэлх тооны логарифмийг олох үйлдлийг логарифмчлал гэнэ. Тиймээс, хүснэгтэндээ шинэ мөр нэмье:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
бүртгэл 2 2 = 1	бүртгэл 2 4 = 2	бүртгэл 2 8 = 3	бүртгэл 2 16 = 4	бүртгэл 2 32 = 5	бүртгэл 2 64 = 6

Харамсалтай нь бүх логарифмыг тийм амархан тооцоолж чаддаггүй. Жишээлбэл, лог 2-г олохыг хичээ 5. Хүснэгтэнд 5-ын тоо байхгүй, гэхдээ логик нь логарифм нь интервал дээр хаа нэгтээ хэвтэхийг заадаг. Учир нь 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Ийм тоонуудыг иррациональ гэж нэрлэдэг: аравтын бутархайн дараах тоог хязгааргүй бичиж болно, хэзээ ч давтагдахгүй. Хэрэв логарифм нь иррациональ болж хувирвал үүнийг орхих нь дээр: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Логарифм нь хоёр хувьсагчтай (суурь ба аргумент) илэрхийлэл гэдгийг ойлгох нь чухал. Олон хүмүүс эхлээд үндэслэл нь хаана байна, маргаан нь хаана байна гэдгийг андуурдаг. Ядаргаатай үл ойлголцол гарахаас зайлсхийхийн тулд зургийг хараарай.

[Зургийн тайлбар]

Бидний өмнө логарифмын тодорхойлолтоос өөр зүйл байхгүй. Санаж байна уу: логарифм бол хүч юм, аргументыг олж авахын тулд суурь нь баригдсан байх ёстой. Энэ нь хүч чадалд өргөгдсөн суурь юм - энэ нь зурган дээр улаанаар тодорсон байна. Суурь нь үргэлж доод талд байдаг нь харагдаж байна! Би оюутнууддаа энэ гайхалтай дүрмийг эхний хичээл дээр хэлдэг бөгөөд ямар ч төөрөгдөл гардаггүй.

Бид тодорхойлолтыг олж мэдсэн - үлдсэн бүх зүйл бол логарифмыг хэрхэн тоолохыг сурах явдал юм. "лог" тэмдгийг арилгах. Эхлээд бид тодорхойлолтоос хоёр чухал баримт гарч ирснийг тэмдэглэж байна.

1. Аргумент ба суурь нь үргэлж тэгээс их байх ёстой. Энэ нь логарифмын тодорхойлолтыг багасгасан рационал илтгэгчээр градусын тодорхойлолтоос үүдэлтэй.
2. Суурь нь нэгээс өөр байх ёстой, учир нь аль ч зэрэг нь нэг хэвээр байна. Үүнээс болоод “хоёрыг авахын тулд ямар хүч гаргах ёстой вэ” гэдэг асуулт утгагүй болж байна. Ийм зэрэглэл байхгүй!

Ийм хязгаарлалт гэж нэрлэдэг хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгын хүрээ(ОДЗ). Логарифмын ODZ нь дараах байдалтай байна: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

b тоонд (логарифмын утга) хязгаарлалт байхгүй гэдгийг анхаарна уу. Жишээлбэл, логарифм нь сөрөг байж магадгүй: log 2 0.5 = −1, учир нь 0.5 = 2 −1.

Гэсэн хэдий ч одоо бид логарифмын VA-г мэдэх шаардлагагүй зөвхөн тоон илэрхийллүүдийг авч үзэх болно. Асуудлыг зохиогчид бүх хязгаарлалтыг аль хэдийн харгалзан үзсэн болно. Гэхдээ логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдал эхлэхэд DL-ийн шаардлага заавал байх болно. Эцсийн эцэст, үндэслэл, аргумент нь дээрх хязгаарлалттай заавал нийцэхгүй маш хүчтэй бүтэцтэй байж болно.

Одоо логарифмыг тооцоолох ерөнхий схемийг харцгаая. Энэ нь гурван алхамаас бүрдэнэ:

1. a суурь ба аргумент x-ийг боломжит хамгийн бага суурь нь нэгээс их байхаар илэрхийл. Замдаа аравтын бутархайг арилгах нь дээр;
2. b хувьсагчийн тэгшитгэлийг шийд: x = a b ;
3. Үүний үр дүнд b тоо нь хариулт болно.

Тэгээд л болоо! Хэрэв логарифм нь үндэслэлгүй болж хувирвал энэ нь эхний шатанд аль хэдийн харагдах болно. Суурь нь нэгээс их байх шаардлага нь маш чухал: энэ нь алдаа гарах магадлалыг бууруулж, тооцооллыг ихээхэн хялбаршуулдаг. Аравтын бутархайн хувьд ч мөн адил: хэрэв та тэдгээрийг нэн даруй энгийн болгон хөрвүүлбэл цөөн тооны алдаа гарах болно.

Тодорхой жишээнүүдийг ашиглан энэ схем хэрхэн ажилладагийг харцгаая.

Даалгавар. Логарифмыг тооцоол: log 5 25

1. Суурь ба аргументыг тавын хүчин гэж төсөөлье: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
2. Тэгшитгэл үүсгэж, шийдье:
   log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
3. Бид хариулт авсан: 2.

Даалгавар. Логарифмыг тооцоолох:

[Зургийн тайлбар]

Даалгавар. Логарифмыг тооцоол: log 4 64

1. Суурь ба аргументыг хоёрын зэрэглэлээр төсөөлье: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Тэгшитгэл үүсгэж, шийдье:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Бид хариулт авсан: 3.

Даалгавар. Логарифмыг тооцоол: log 16 1

1. Суурь ба аргументыг хоёрын зэрэглэлээр төсөөлье: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Тэгшитгэл үүсгэж, шийдье:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Бид хариулт авсан: 0.

Даалгавар. Логарифмыг тооцоол: log 7 14

1. Суурь ба аргументыг долоон хүчин гэж төсөөлье: 7 = 7 1 ; 7 1 тул 14-ийг долоон зэрэглэлээр илэрхийлэх боломжгүй< 14 < 7 2 ;
2. Өмнөх догол мөрөөс харахад логарифмыг тооцохгүй;
3. Хариулт нь өөрчлөлтгүй: log 7 14.

Сүүлийн жишээн дээрх жижиг тэмдэглэл. Тоо нь өөр тооны яг хүчин чадал биш гэдэгт яаж итгэлтэй байх вэ? Энэ нь маш энгийн - зүгээр л үндсэн хүчин зүйлд оруулаарай. Хэрэв ийм хүчин зүйлсийг ижил илтгэгчтэй хүч болгон цуглуулж чадахгүй бол анхны тоо нь яг хүчин чадал биш юм.

Даалгавар. Тоонууд яг хүчинтэй эсэхийг олж мэд: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - яг зэрэг, учир нь зөвхөн нэг үржүүлэгч байдаг;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - 3 ба 2 гэсэн хоёр хүчин зүйл байдаг тул энэ нь яг хүч биш юм;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - яг зэрэг;
35 = 7 · 5 - дахин тодорхой хүч биш;
14 = 7 · 2 - дахин нарийн зэрэг биш;

Анхдагч тоонууд нь үргэлж өөрсдийнхөө яг хүч байдаг гэдгийг анхаарна уу.

Аравтын логарифм

Зарим логарифм нь маш түгээмэл тул тусгай нэр, тэмдэгтэй байдаг.

x-ийн аравтын бутархай логарифм нь 10-ын суурьтай логарифм, өөрөөр хэлбэл. X тоог авахын тулд 10-ын тоог өсгөх ёстой хүч. Тэмдэглэл: lg x.

Жишээлбэл, log 10 = 1; бүртгэл 100 = 2; lg 1000 = 3 - гэх мэт.

Одооноос эхлэн сурах бичигт “Find lg 0.01” гэх мэт хэллэг гарахад энэ нь үсгийн алдаа биш гэдгийг мэдэж аваарай. Энэ бол аравтын бутархай логарифм юм. Гэсэн хэдий ч, хэрэв та энэ тэмдэглэгээг сайн мэдэхгүй бол та үүнийг үргэлж дахин бичиж болно:
log x = log 10 x

Энгийн логарифмын хувьд үнэн бүх зүйл аравтын бутархай логарифмын хувьд ч үнэн байдаг.

Байгалийн логарифм

Өөр өөрийн гэсэн тэмдэглэгээтэй өөр логарифм байдаг. Зарим талаараа энэ нь аравтын тооноос ч илүү чухал юм. Бид байгалийн логарифмын тухай ярьж байна.

х-ийн натурал логарифм нь e-ийн суурийн логарифм, i.e. х тоог авахын тулд e тоог өсгөх ёстой хүч. Тэмдэглэл: ln x .

Олон хүн асуух болно: e тоо юу вэ? Энэ бол утгагүй тоо; Би зөвхөн эхний тоонуудыг өгөх болно:
e = 2.718281828459...

Энэ тоо юу вэ, яагаад хэрэгтэй байгаа талаар бид дэлгэрэнгүй ярихгүй. Зөвхөн e нь натурал логарифмын суурь гэдгийг санаарай.
ln x = log e x

Тиймээс ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - гэх мэт. Нөгөө талаас, ln 2 бол иррационал тоо юм. Ерөнхийдөө аливаа рационал тооны натурал логарифм нь иррациональ юм. Мэдээжийн хэрэг, нэгдмэл байдлаас бусад нь: ln 1 = 0.

Натурал логарифмын хувьд энгийн логарифмын хувьд үнэн байх бүх дүрэм хүчинтэй байна.

1.1. Бүхэл тоон илтгэгчийн илтгэгчийг тодорхойлох

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X - N удаа

1.2. Тэг градус.

Тодорхойлолтоор аливаа тооны тэг хүч нь 1 байна гэж ерөнхийд нь хүлээн зөвшөөрдөг.

1.3. Сөрөг зэрэг.

X -N = 1/X N

1.4. Бутархай хүч, үндэс.

X 1/N = X-ийн N үндэс.

Жишээ нь: X 1/2 = √X.

1.5. Эрх нэмэх томъёо.

X (N+M) = X N *X M

1.6.Чадлыг хасах томьёо.

X (N-M) = X N /X M

1.7. Үржүүлэх чадварыг тооцоолох томъёо.

X N*M = (X N) М

1.8. Бутархайг зэрэгт хүргэх томъёо.

(X/Y) N = X N /Y N

2. Тоо e.

e тооны утга нь дараах хязгаартай тэнцүү байна.

E = lim(1+1/N), N → ∞ гэж.

17 цифрийн нарийвчлалтай e тоо нь 2.71828182845904512.

3. Эйлерийн тэгш байдал.

Энэ тэгш байдал нь математикт онцгой үүрэг гүйцэтгэдэг таван тоог холбодог: 0, 1, e, pi, төсөөллийн нэгж.

E (i*pi) + 1 = 0

4. Экспоненциал функц exp(x)

exp(x) = e x

5. Экспоненциал функцийн дериватив

Экспоненциал функц нь гайхалтай шинж чанартай: функцийн дериватив нь экспоненциал функцтэй тэнцүү байна.

(exp(x))" = exp(x)

6. Логарифм.

6.1. Логарифмын функцийн тодорхойлолт

Хэрэв x = b y бол логарифм нь функц болно

Y = Лог b(x).

Логарифм нь өгөгдсөн тоог (X) олж авахын тулд тоог - логарифмын суурь (b) -ийг ямар түвшинд өсгөх ёстойг харуулж байна. Логарифмын функц нь тэгээс их X хувьд тодорхойлогддог.

Жишээ нь: Бүртгэл 10 (100) = 2.

6.2. Аравтын логарифм

Энэ нь 10 суурьтай логарифм юм:

Y = Лог 10 (x) .

Log(x) гэж тэмдэглэсэн: Log(x) = Log 10 (x).

Аравтын бутархай логарифм ашиглах жишээ бол децибел юм.

6.3. Децибел

Энэ зүйлийг Децибелийн тусдаа хуудсан дээр тодруулсан болно

6.4. Хоёртын логарифм

Энэ нь суурь 2 логарифм юм:

Y = Лог 2 (x).

Lg(x)-ээр тэмдэглэсэн: Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. Байгалийн логарифм

Энэ нь e суурийн логарифм юм:

Y = Log e (x) .

Ln(x)-ээр тэмдэглэсэн: Ln(x) = Log e (X)
Натурал логарифм нь exp(X) экспоненциал функцийн урвуу функц юм.

6.6. Онцлог цэгүүд

Лога(1) = 0
Лог a (a) = 1

6.7. Бүтээгдэхүүний логарифмын томъёо

Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)

6.8. Хэсгийн логарифмын томъёо

Log a (x/y) = Log a (x)-Log a (y)

6.9. Эрчим хүчний томъёоны логарифм

Log a (x y) = y*Log a (x)

6.10. Өөр суурьтай логарифм руу хөрвүүлэх томъёо

Log b (x) = (Log a (x))/Log a (b)

Жишээ:

Бүртгэл 2 (8) = Бүртгэл 10 (8) / Бүртгэл 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Амьдралд хэрэгтэй томьёо

Ихэнхдээ эзэлхүүнийг талбай эсвэл урт болгон хувиргах, урвуу асуудал - талбайг эзэлхүүн болгон хувиргах асуудал гардаг. Жишээлбэл, хавтанг шоо (шоо метр) хэлбэрээр зардаг бөгөөд бид хэр их хананы талбайг тодорхой эзэлхүүнтэй хавтангаар бүрхэж болохыг тооцоолох хэрэгтэй, самбаруудын тооцоог үзнэ үү, шоо дөрвөлжин хэр олон самбар байна. Эсвэл хананы хэмжээсийг мэддэг бол тоосгоны тоог тооцоолох хэрэгтэй, тоосгоны тооцоог үзнэ үү.

Эх сурвалжийн идэвхтэй холбоосыг суулгасан тохиолдолд сайтын материалыг ашиглахыг зөвшөөрнө.

Муу биш, тийм ээ? Математикчид танд урт, төөрөгдүүлсэн тодорхойлолт өгөх үгсийг хайж байх хооронд энэ энгийн бөгөөд ойлгомжтой тайлбарыг нарийвчлан авч үзье.

e тоо нь өсөлт гэсэн үг

e тоо нь тасралтгүй өсөлтийг илэрхийлдэг. Өмнөх жишээн дээр харсанчлан, e x нь хүү ба цаг хугацааг холбох боломжийг бидэнд олгодог: 100% өсөлттэй байгаа 3 жил нь "нийлмэл хүү" гэж үзвэл 300% -ийн өсөлттэй 1 жилтэй ижил байна.

Та ямар ч хувь, цаг хугацааны утгыг (4 жилийн хугацаанд 50%) орлуулж болно, гэхдээ тохиромжтой байхын тулд хувь хэмжээг 100% гэж тохируулах нь дээр (2 жилийн хугацаанд 100% болно). 100% руу шилжсэнээр бид зөвхөн цаг хугацааны бүрэлдэхүүн хэсэгт анхаарлаа төвлөрүүлж чадна:

e x = e хувь * цаг = e 1.0 * цаг = e цаг

Мэдээж e x гэсэн үг:

• х нэгж хугацааны дараа миний оруулсан хувь нэмэр хэр их өсөх вэ (100% тасралтгүй өсөлт гэж үзвэл).
• жишээлбэл, 3 цагийн интервалын дараа би e 3 = 20.08 дахин их "юм" авах болно.

e x нь бидний x хугацааны дараа ямар түвшинд хүрэхийг харуулах масштабын хүчин зүйл юм.

Натурал логарифм гэдэг нь цаг хугацаа гэсэн үг

Натурал логарифм нь e-ийн урвуу утга бөгөөд эсрэгээр нь илэрхийлдэг гоёмсог нэр томъёо юм. Хачирхалтай байдлын тухай ярих; Латинаар үүнийг logarithmus naturali гэж нэрлэдэг тул ln гэсэн товчлол юм.

Мөн энэ урвуу эсвэл эсрэгээр нь юу гэсэн үг вэ?

• e x нь цагийг орлуулах, өсөлтийг авах боломжийг бидэнд олгодог.
• ln(x) нь өсөлт эсвэл орлогыг авч, түүнийг бий болгоход шаардагдах хугацааг олж мэдэх боломжийг олгодог.

Жишээлбэл:

• e 3 нь 20.08-тай тэнцүү. Гурван хугацааны дараа бид эхлүүлснээсээ 20.08 дахин их байх болно.
• ln(08/20) нь ойролцоогоор 3 байх болно. Хэрэв та 20.08 дахин өсөлтийг сонирхож байгаа бол танд 3 хугацаа хэрэгтэй болно (дахин 100% тасралтгүй өсөлт гэж үзвэл).

Уншсаар л байна уу? Байгалийн логарифм нь хүссэн түвшинд хүрэхэд шаардагдах хугацааг харуулдаг.

Энэ нь стандарт бус логарифмын тооллого

Та логарифмуудыг үзсэн үү - тэд хачин амьтад юм. Тэд хэрхэн үржүүлгийг нэмэлт болгон хувиргаж чадсан бэ? Хасах үйлдэлд хуваах талаар юу хэлэх вэ? Ингээд харцгаая.

ln(1) нь хэдтэй тэнцүү вэ? Зөн совингийн хувьд асуулт бол: өөрт байгаа зүйлээсээ 1 дахин ихийг авахын тулд би хэр удаан хүлээх ёстой вэ?

Тэг. Тэг. Огт үгүй. Танд аль хэдийн нэг удаа байгаа. 1-р түвшнээс 1-р түвшинд шилжихэд их цаг хугацаа шаардагдахгүй.

• log(1) = 0

За, бутархай утгыг яах вэ? Бидэнд бэлэн байгаа хэмжээнээс 1/2 нь үлдэхэд хэр хугацаа шаардагдах вэ? 100% тасралтгүй өсөлттэй үед ln(2) нь хоёр дахин нэмэгдэх хугацаа гэсэн үг гэдгийг бид мэднэ. Хэрэв бид цаг хугацааг буцацгаая(өөрөөр хэлбэл, сөрөг цаг хүлээх), тэгвэл бид байгаа зүйлийн тэн хагасыг авах болно.

• ln(1/2) = -ln(2) = -0.693

Логик, тийм үү? Хэрэв бид 0.693 секунд руу буцах юм бол бид бэлэн мөнгөний хагасыг олох болно. Ерөнхийдөө та бутархайг эргүүлж сөрөг утгыг авч болно: ln(1/3) = -ln(3) = -1.09. Энэ нь хэрэв бид 1.09 удаа цаг хугацааг ухравал одоогийн тооны гуравны нэгийг л олох болно гэсэн үг юм.

За, сөрөг тооны логарифмыг яах вэ? Бактерийн колони 1-ээс -3 хүртэл "ургах" хүртэл хэр хугацаа шаардагдах вэ?

Энэ боломжгүй! Та нянгийн сөрөг тоог авч чадахгүй байна, тийм үү? Та хамгийн их (э...хамгийн бага) тэгийг авч болно, гэхдээ эдгээр бяцхан амьтдаас сөрөг тоо авах боломжгүй. Бактерийн сөрөг тоо нь утгагүй юм.

• ln(сөрөг тоо) = тодорхойгүй

"Тодорхойгүй" гэдэг нь сөрөг утгыг авахын тулд хүлээх цаг хугацаа байхгүй гэсэн үг юм.

Логарифмын үржүүлэх нь зүгээр л инээдтэй юм

Дөрөв дахин өсөхөд хэр хугацаа шаардагдах вэ? Мэдээжийн хэрэг, та зүгээр л ln (4) авч болно. Гэхдээ энэ нь хэтэрхий энгийн, бид өөр замаар явах болно.

Дөрөв дахин өсөлтийг хоёр дахин ихэсгэх (ln(2) нэгж хугацаа шаардагдана), дараа нь дахин хоёр дахин нэмэгдэх (өөр ln(2) нэгж хугацаа шаардлагатай) гэж та бодож болно.

• 4 дахин өсөх хугацаа = ln(4) = Хоёр дахин өсөх хугацаа = ln(2) + ln(2)

Сонирхолтой. Аливаа өсөлтийн хурд, жишээ нь 20, 10 дахин өссөний дараа шууд хоёр дахин өссөн гэж үзэж болно. Эсвэл 4 дахин, дараа нь 5 дахин өснө. Эсвэл гурав дахин нэмэгдээд дараа нь 6.666 дахин нэмэгдэнэ. Загварыг харж байна уу?

• ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

A үрийн B логарифм нь log(A) + log(B) юм. Энэ харилцааг өсөлтийн үүднээс авч үзвэл шууд утга учиртай болно.

Хэрэв та 30 дахин өсөлтийг сонирхож байгаа бол нэг суултаар ln(30) хүлээх эсвэл гурав дахин нэмэгдэхийг ln(3), дараа нь өөр ln(10)-ыг 10 дахин хүлээх боломжтой. Эцсийн үр дүн нь адилхан, тиймээс мэдээжийн хэрэг цаг нь тогтмол хэвээр байх ёстой (мөн энэ нь хэвээр байна).

Харин хуваах тухай? Тодруулбал, ln(5/3) гэдэг нь: 5 дахин өсөхөд хэр хугацаа шаардагдах бөгөөд үүний 1/3-ийг авах вэ?

Гайхалтай, 5 дахин өсөх нь ln(5). 1/3 дахин өсөхөд -ln(3) нэгж хугацаа шаардагдана. Тэгэхээр,

• ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Энэ нь: 5 дахин өсөхийг зөвшөөрч, дараа нь "цаг хугацааны хувьд буцаж" энэ дүнгийн гуравны нэг нь үлддэг тул та 5/3 өсөлтийг авна гэсэн үг юм. Ерөнхийдөө энэ нь харагдаж байна

• ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Логарифмын хачирхалтай арифметик танд утга учиртай болж байна гэж найдаж байна: өсөлтийн хурдыг үржүүлэх нь өсөлтийн цагийн нэгжийг нэмж, хуваах нь цагийн нэгжийг хасах болно. Дүрмүүдийг цээжлэх шаардлагагүй, ойлгохыг хичээ.

Дурын өсөлтөд байгалийн логарифмыг ашиглах

Мэдээжийн хэрэг" гэж та "Өсөлт 100% байвал энэ бүхэн сайн, гэхдээ миний хүлээж буй 5% яах вэ?"

Асуудалгүй. Бидний ln() ашиглан тооцдог "цаг" нь үнэндээ хүүгийн түвшин ба цаг хугацааны хослол бөгөөд e x тэгшитгэлийн ижил X юм. Бид зүгээр л хялбар болгох үүднээс хувь хэмжээг 100% болгохоор шийдсэн, гэхдээ бид ямар ч тоог чөлөөтэй ашиглах боломжтой.

Бид 30 дахин өсөхийг хүсч байна гэж бодъё: ln(30)-ыг аваад 3.4-ийг авна. Энэ нь:

• e x = өндөр
• e 3.4 = 30

Мэдээжийн хэрэг, энэ тэгшитгэл нь "3.4 жилийн 100% өгөөж нь 30 дахин өсөх болно" гэсэн үг юм. Бид энэ тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно.

• e x = e хурд*цаг
• e 100% * 3.4 жил = 30

Бооцооны * цаг 3.4 хэвээр байвал бид "бооцоо" ба "цаг" гэсэн утгыг өөрчлөх боломжтой. Жишээлбэл, хэрэв бид 30 дахин өсөлтийг сонирхож байгаа бол 5 хувийн хүүтэй хэр удаан хүлээх вэ?

• ln(30) = 3.4
• хувь хэмжээ * цаг = 3.4
• 0.05 * цаг = 3.4
• цаг = 3.4 / 0.05 = 68 жил

Би ингэж тайлбарлаж байна: "ln(30) = 3.4, тиймээс 100% өсөлтөд 3.4 жил шаардлагатай. Хэрэв би өсөлтийн хурдыг хоёр дахин нэмэгдүүлбэл шаардагдах хугацаа хоёр дахин багасна."

• 3.4 жилийн хугацаанд 100% = 1.0 * 3.4 = 3.4
• 1.7 жилийн дотор 200% = 2.0 * 1.7 = 3.4
• 6.8 жилийн 50% = 0.5 * 6.8 = 3.4
• 68 наснаас дээш 5% = .05 * 68 = 3.4.

Гайхалтай, тийм үү? Натурал логарифмыг ямар ч хүү, цаг хугацаагаар ашиглаж болно, учир нь тэдний бүтээгдэхүүн тогтмол хэвээр байна. Та хувьсагчийн утгыг хүссэн хэмжээгээрээ зөөж болно.

Гайхалтай жишээ: Далан хоёрын дүрэм

Далан хоёрын дүрэм бол таны мөнгө хоёр дахин нэмэгдэхэд хэр хугацаа шаардагдахыг тооцоолох боломжийг олгодог математикийн арга юм. Одоо бид үүнийг дүгнэлт хийх болно (тийм ээ!), Түүнээс гадна бид түүний мөн чанарыг ойлгохыг хичээх болно.

Жил бүр 100% нийлсэн мөнгөө хоёр дахин нэмэгдүүлэхэд хэр хугацаа шаардагдах вэ?

Өө. Тасралтгүй өсөлтийн тохиолдолд бид байгалийн логарифмыг ашигласан, одоо та жилийн нийлбэрийн талаар ярьж байна уу? Ийм тохиолдолд энэ томьёо тохиромжгүй болох юм биш үү? Тийм ээ, тэгэх болно, гэхдээ 5%, 6% эсвэл бүр 15% гэх мэт бодит хүүгийн хувьд жилийн нийлбэр ба тасралтгүй өсөлтийн хоорондох ялгаа бага байх болно. Тэгэхээр ойролцоогоор тооцоолол үр дүнтэй байгаа тул бид бүрэн тасралтгүй аккруэль байгаа мэт дүр эсгэх болно.

Одоо асуулт энгийн байна: Та 100% өсөлттэйгээр хэр хурдан хоёр дахин нэмэгдэх вэ? ln(2) = 0.693. 100% тасралтгүй өсөхөд бидний дүнг хоёр дахин нэмэгдүүлэхийн тулд 0.693 нэгж цаг (бидний тохиолдолд жил) шаардлагатай.

Тэгэхээр зээлийн хүү 100% биш, 5%, 10% гээд байвал яах вэ?

Амархан! Бооцоо * цаг = 0.693 тул бид дүнг хоёр дахин нэмэгдүүлнэ.

• хувь хэмжээ * цаг = 0.693
• цаг = 0.693 / бооцоо

Хэрэв өсөлт 10% бол хоёр дахин өсөхөд 0.693 / 0.10 = 6.93 жил шаардлагатай болно.

Тооцооллыг хялбарчлахын тулд хоёр талыг 100-аар үржүүлье, дараа нь "0.10" биш "10" гэж хэлж болно.

• хоёр дахин хугацаа = 69.3 / бооцоо, хаана бооцоо хувиар илэрхийлсэн.

Одоо 5%, 69.3 / 5 = 13.86 жилээр хоёр дахин өсөх цаг болжээ. Гэсэн хэдий ч 69.3 бол хамгийн тохиромжтой ногдол ашиг биш юм. 2, 3, 4, 6, 8 болон бусад тоонд хуваахад тохиромжтой 72 гэсэн ойролцоо тоог сонгоцгооё.

• давхар = 72 / бооцоо тавих цаг

энэ нь далан хоёрын дүрэм юм. Бүх зүйл бүрхэгдсэн.

Хэрэв та гурав дахин үржих цагийг олох шаардлагатай бол ln(3) ~ 109.8-г ашиглаж болно.

• цаг гурав дахин = 110 / бооцоо

Энэ нь бас нэг ашигтай дүрэм юм. "72-ын дүрэм" нь зээлийн хүүгийн өсөлт, хүн амын өсөлт, нянгийн өсгөвөр болон экспоненциалаар өсч буй бүх зүйлд хамаарна.

Дараа нь юу юм?

Байгалийн логарифм нь танд ойлгомжтой болсон гэж найдаж байна - энэ нь ямар ч тоо экспоненциал өсөхөд шаардагдах хугацааг харуулдаг. Би үүнийг байгалийн гэж нэрлэдэг, учир нь e нь өсөлтийн бүх нийтийн хэмжүүр тул ln нь хэр удаан ургахыг тодорхойлох бүх нийтийн арга гэж үзэж болно.

Та ln(x)-г харах бүрдээ "X удаа өсөхөд шаардагдах хугацааг" санаарай. Удахгүй гарах нийтлэлдээ би математикийн шинэхэн үнэр агаарыг дүүргэхийн тулд e болон ln-ийг хослуулан тайлбарлах болно.

Нэмэлт: e-ийн натурал логарифм

Шуурхай асуулт: ln(e) гэж юу вэ?

• математикийн робот хэлэх болно: Тэд бие биенийхээ урвуу гэж тодорхойлогддог тул ln(e) = 1 байх нь ойлгомжтой.
• ойлгох хүн: ln(e) нь "e" дахин өсөхөд шаардагдах тоо (ойролцоогоор 2.718). Гэсэн хэдий ч e тоо нь өөрөө 1 дахин өсөлтийн хэмжүүр тул ln(e) = 1 байна.

Тодорхой бод.

2013 оны есдүгээр сарын 9

Натурал логарифмын тухай ойлголтыг танилцуулахын өмнө $e$ тогтмол тооны тухай ойлголтыг авч үзье.

$e$ дугаар

Тодорхойлолт 1

$e$ дугаарнь математикийн тогтмол бөгөөд энэ нь трансцендент тоо бөгөөд $e\ойролцоогоор 2.718281828459045\ldots$-тай тэнцэнэ.

Тодорхойлолт 2

Трансцендентбүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнтийн үндэс биш тоо юм.

Тайлбар 1

Сүүлийн томъёог тайлбарлав хоёр дахь гайхалтай хязгаар.

e тоог бас нэрлэдэг Эйлерийн тоо, заримдаа Напиерын тоо.

Тайлбар 2

$e$ тооны эхний цифрүүдийг санахын тулд дараах илэрхийллийг ихэвчлэн ашигладаг. "$2$, $7$, хоёр удаа Лев Толстой". Мэдээжийн хэрэг, үүнийг ашиглахын тулд Лев Толстой 1828$-д төрсөн гэдгийг санах нь зүйтэй бөгөөд энэ нь $2$-ын бүхэл хэсгийн дараа $e$-ийн утгад хоёр удаа давтагддаг. аравтын бутархай $7$.

Бид $\log_(e)⁡a$ логарифмын сууринд байдаг тул натурал логарифмийг судлахдаа $e$ тооны тухай ойлголтыг авч үзэж эхэлсэн бөгөөд үүнийг ихэвчлэн гэж нэрлэдэг. байгалийн$\ln ⁡a$ хэлбэрээр бичнэ.

Байгалийн логарифм

Ихэнхдээ тооцоололд $е$ тоон дээр үндэслэн логарифмыг ашигладаг.

Тодорхойлолт 4

$e$ суурьтай логарифмыг нэрлэнэ байгалийн.

Тэдгээр. натурал логарифмийг $\log_(e)⁡a$ гэж тэмдэглэж болох боловч математикт $\ln ⁡a$ тэмдэглэгээг ашиглах нь түгээмэл байдаг.

Натурал логарифмын шинж чанарууд

Учир нь Аливаа нэгдлийн суурийн логарифм нь $0$-тэй тэнцүү бол нэгдлийн натурал логарифм нь $0$-тэй тэнцүү байна:

$е$ тооны натурал логарифм нь нэгтэй тэнцүү байна.

Хоёр тооны үржвэрийн натурал логарифм нь эдгээр тоонуудын натурал логарифмын нийлбэртэй тэнцүү байна.

$\ln ⁡(ab)=\ln ⁡a+\ln ⁡b$.

Хоёр тооны натурал логарифм нь эдгээр тоонуудын натурал логарифмын зөрүүтэй тэнцүү байна.

$\ln⁡\frac(a)(b)=\ln ⁡a-\ln⁡ b$.

Тооны зэрэглэлийн натурал логарифмийг илтгэгчийн үржвэр ба дэд логарифмын тооны натурал логарифм хэлбэрээр илэрхийлж болно.

$\ln⁡ a^s=s \cdot \ln⁡ a$.

Жишээ 1

$\frac(2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)$ илэрхийллийг хялбарчил.

Шийдэл.

Үржвэрийн логарифмын шинж чанарыг тоо ба хуваарийн эхний логарифмд, хүч чадлын логарифмын шинж чанарыг тоо ба хуваарийн хоёр дахь логарифмд тусгая.

$\frac(2 \ln ⁡4e-\ln⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)=\frac(2(\ln ⁡4+\ln ⁡e) -\ln⁡ 4^2)(\ln ⁡5+\ln ⁡e-\frac(1)(2) \ln⁡ 5^2)=$

Хаалтуудыг нээж, ижил төстэй нэр томъёог танилцуулж, мөн $\ln ⁡e=1$ шинж чанарыг хэрэглэцгээе:

$=\frac(2 \ln ⁡4+2-2 \ln ⁡4)(\ln ⁡5+1-\frac(1)(2) \cdot 2 \ln ⁡5)=\frac(2)( \ln ⁡5+1-\ln ⁡5)=2$.

Хариулах: $\frac(2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)=2$.

Жишээ 2

$\ln⁡ 2e^2+\ln \frac(1)(2e)$ илэрхийллийн утгыг ол.

Шийдэл.

Логарифмын нийлбэрийн томъёог хэрэглэцгээе.

$\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=\ln 2e^2 \cdot \frac(1)(2e)=\ln ⁡e=1$.

Хариулах: $\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=1$.

Жишээ 3

$2 \lg ⁡0.1+3 \ln⁡ e^5$ логарифм илэрхийллийн утгыг тооцоол.

Шийдэл.

Хүчний логарифмын шинж чанарыг ашиглая:

$2 \lg ⁡0.1+3 \ln e^5=2 \lg 10^(-1)+3 \cdot 5 \ln ⁡e=-2 \lg ⁡10+15 \ln ⁡e=-2+ 15= 13 доллар.

Хариулах: $2 \lg ⁡0.1+3 \ln e^5=13$.

Жишээ 4

$\ln \frac(1)(8)-3 \ln ⁡4$ логарифм илэрхийллийг хялбарчил.

$3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln ⁡27=3 \ln (\frac(3)(e))^2-2 \ln 3^3=3 \cdot 2 \ln \ frac(3)(e)-2 \cdot 3 \ln ⁡3=6 \ln \frac(3)(e)-6 \ln ⁡3=$

Эхний логарифмд бид хуваарийн логарифмын шинж чанарыг хэрэглэнэ.

$=6(\ln ⁡3-\ln ⁡e)-6 \ln⁡ 3=$

Хаалтуудыг нээж, ижил төстэй нэр томъёог танилцуулъя:

$=6 \ln ⁡3-6 \ln ⁡e-6 \ln ⁡3=-6$.

Хариулах: $3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln ⁡27=-6$.